大本を辿ると無縁塚説になると思いますが、（どのようにして実家の倉庫にやって来たか等）今回は魔理沙がどこで見つけたかに焦点が当たっていると思いますので、無縁塚から来たと先に結論づけます。
「３．実家の倉庫から見つけた説」は、takenoko氏と同意見で消したいと思います。
天ぷら氏が提唱する「１．無縁塚説」「２．剣の持ち主から借りた(盗んだ)説」「４．博麗神社の倉庫説」説は、草なぎの剣が「どの」草なぎの剣であるかによって解釈が分かれると思います。
私が調べた限り、天叢雲剣（草なぎの剣の正式名称、以下、天叢雲剣と呼称します）は4本あると考えられます。
（１）天叢雲剣（本体）
熱田神宮にあるとされている。
（２）天叢雲剣（初代形代）
崇神天皇の時に「神器と同居するのは畏れ多い」という理由で作られたもので、源平合戦の壇ノ浦の戦いで、安徳天皇と共に失われたとされている。
（３）天叢雲剣（二代目形代）
伊勢神宮から送られた神剣を形代としたもの。現在は皇居にあるとされている。
（４）天叢雲剣（偽物）
南北朝時代に、足利尊氏と対立した後醍醐天皇が作った偽造品。南北朝統一前後の天皇である後亀山天皇が後小松天皇に神器を譲渡して決着した。所在不明。
（１）および（３）は幻想入りしていないことが自明なので、候補から外します。また、（２）は「壇ノ浦に沈んだまま」と解釈できること、話自体が有名のため、まだ幻想入りしていないと考えられます。
（４）については現在の行方が不明のため、幻想入りしていても異論がないと考えられます。また、霖之助のセリフ（『鉄くずの中から一振りの古びた剣を取り出した。（中略）この剣、名前は「草薙の剣」という。恐ろしく稀少な品だ。何しろ、外の世界を変えてしまう程の品である。』とあり、混沌した南北朝時代に三種の神器が論争を引き起こている史実と一致する言及となります。
そのため、霧雨の剣＝天叢雲剣（偽物）であることは議論の余地はありません。
ようやく天ぷら氏が提唱する「１．無縁塚説」「２．剣の持ち主から借りた(盗んだ)説」「４．博麗神社の倉庫説」の検証に移りますが、「天叢雲剣（偽物）」を祀るというのは中々難しいと思われるので、「４．博麗神社の倉庫説」はやや説得力に欠けると思います。
「２．剣の持ち主から借りた(盗んだ)説」は、現在の設定では否定もできませんし、肯定もできません。神主次第で有力候補になるとは思います。
以上から、「１．無縁塚説」を最有力候補に位置づけしたいと思います。
（参考文献）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E5%8F%A2%E9%9B%B2%E5%89%A3
https://dic.pixiv.net/a/%E9%9C%A7%E9%9B%A8%E3%81%AE%E5%89%A3